Taxas de Variação

📈 Taxa de Variação

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A taxa de variação mede como uma função muda quando passamos de um ponto para outro. Em média, mede-se num intervalo e no instante, mede-se num único ponto (e dá origem à derivada).

Taxa média de variação

Seja $f$ uma função real de variável real e os pontos $A(a, f(a))$ e $B(b, f(b))$ pertencentes ao seu gráfico, com $a \neq b$ .

A taxa média de variação de $f$ em $[a, b]$ , com $a < b$ , é o número real:

\text{t.m.v.}_{[a,\, b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Na prática, é a divisão entre a variação dos valores da função, $f(b) - f(a)$ , e a variação dos valores da variável, $b - a$ .

Interpretação geométrica

A taxa média de variação de $f$ em $[a, b]$ é igual ao declive da reta secante $AB$ ao gráfico de $f$ . Ou seja, se $\theta$ é o ângulo que a reta $AB$ faz com o semieixo positivo $Ox$ , então:

m = \tan \theta = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Exemplo

Considera $f(x) = x^2$ . A taxa média de variação no intervalo $[1, 3]$ é:

\text{t.m.v.}_{[1,\, 3]} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4

Isto significa que, em média, a função aumenta 4 unidades por cada unidade de $x$ percorrida no intervalo $[1, 3]$ .

Taxa de variação instantânea (derivada num ponto)

A taxa de variação instantânea (ou derivada) de $f$ em $x_0$ , com $x_0 \in D_f$ não sendo ponto isolado, é o número real para que tende

\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

quando $x$ tende para $x_0$ (caso esse limite exista).

Esta taxa representa-se por $f'(x_0)$ e pode ser calculada de duas formas equivalentes:

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

A segunda forma usa o incremento $h = x - x_0$ e é a mais prática quando se substituem os valores.

Interpretação geométrica

A taxa de variação instantânea de $f$ em $x_0$ , $f'(x_0)$ , é igual ao declive da reta tangente ao gráfico de $f$ (reta $t$ ), no ponto $P$ de coordenadas $(x_0, f(x_0))$ .

Intuitivamente, quando os pontos $A$ e $B$ se aproximam um do outro, a reta secante "encosta" no gráfico e transforma-se na reta tangente nesse ponto.

Exemplo

Calcular $f'(1)$ para $f(x) = x^2$ usando a definição:

f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2

Logo, a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0 = 1$ tem declive $2$ .

Experimenta no GeoGebra

Mexe na função $f$ , no ponto $X$ e no incremento $h$ , e observa o que acontece à reta secante quando $h$ se aproxima de zero. Vais ver a reta secante a transformar-se na reta tangente:

Para veres em ação o significado de derivada como declive da reta tangente, podes ainda experimentar:

💡 Dicas

A taxa média de variação dá-te o declive da reta secante entre dois pontos do gráfico.

A derivada num ponto dá-te o declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto.

Se a derivada num ponto é positiva, a função está a crescer aí; se é negativa, está a decrescer; se é zero, a tangente é horizontal.