Definição

Uma função diz-se racional se é definida por:

sendo $P(x)$ e $Q(x)$ polinómios (com $Q(x)$ não nulo).

• Domínio: $D_f = \{ x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0 \}$

• Zeros de $f$:

Por outras palavras: os zeros de $f$ são os zeros do numerador que também estão no domínio (ou seja, não anulam o denominador).

Função de referência: $f(x) = \dfrac{1}{x}$

A função racional mais simples é $f(x) = \dfrac{1}{x}$, cujo gráfico é uma hipérbole equilátera.

• Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

• Contradomínio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

• Não tem zeros

• É uma função ímpar: $f(-x) = -f(x)$

• Assíntota vertical: $x = 0$ (o eixo $Oy$)

• Assíntota horizontal: $y = 0$ (o eixo $Ox$)

• Decrescente em $]{-}\infty, 0[$ e em $]0, +\infty[$

Funções do tipo $f(x) = a + \dfrac{b}{x - c}$

Com $a, c \in \mathbb{R}$ e $b \neq 0$, esta é a forma canónica que aparece com mais frequência no estudo das racionais.

• Domínio: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{c\}$

• Contradomínio: $D'_f = \mathbb{R} \setminus \{a\}$

• Equação da assíntota vertical: $x = c$
  • Quando $x \to c$ por valores à esquerda ou à direita (ou ambos), $f(x)$ tende para $+\infty$ ou para $-\infty$.

• Equação da assíntota horizontal: $y = a$
  • Quando $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$, $f(x)$ tende para $a$.

• O ponto $(c, a)$, interseção das duas assíntotas, é o centro de simetria da hipérbole.

O parâmetro $b$ controla a "abertura" da curva e o sinal define em que quadrantes (relativos às assíntotas) ficam os ramos: se $b > 0$, os ramos ficam acima-à-direita e abaixo-à-esquerda do centro $(c, a)$; se $b < 0$, fica o contrário.

Exemplo (leitura direta de $a$, $b$, $c$)

Para a função $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x - 3}$, lemos imediatamente:

• $a = 2$ → assíntota horizontal $y = 2$

• $c = 3$ → assíntota vertical $x = 3$

• $b = 1$ (positivo) → ramos acima-à-direita e abaixo-à-esquerda do ponto $(3, 2)$

• Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{3\}$; contradomínio: $\mathbb{R} \setminus \{2\}$

Conversão para a forma canónica (exemplo)

Escrever $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$ na forma $a + \dfrac{b}{x - c}$.

Começamos por fazer a divisão inteira do numerador $2x + 3$ pelo denominador $x - 1$, passo a passo:

1. Dividimos os termos de maior grau: $2x \div x = 2$, este é o quociente.

1. Multiplicamos esse $2$ pelo divisor: $2 \times (x - 1) = 2x - 2$.

1. Subtraímos esse resultado ao numerador:

Como o resto $5$ já tem grau menor que o divisor, a divisão termina: quociente $2$ e resto $5$. É o mesmo que escrever $2x + 3 = 2(x - 1) + 5$. Logo:

Daqui lê-se: $a = 2$, $b = 5$, $c = 1$. A função tem assíntota vertical $x = 1$, assíntota horizontal $y = 2$, e o seu domínio é $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Experimenta no GeoGebra

Mexe nos parâmetros $a$, $b$ e $c$ e observa em tempo real como o gráfico e as assíntotas se deslocam:

💡 Dicas

• Para achar o domínio de uma função racional, basta resolver $Q(x) = 0$, esses pontos ficam excluídos.

• O centro de simetria $(c, a)$ é a interseção das duas assíntotas.