Funções Polinomiais e Racionais·➗ Divisão de Funções
Operações com Funções

➗ Divisão de Funções

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A divisão (ou quociente) de funções funciona ponto a ponto, mas com uma restrição extra: não podemos dividir por zero. Esta operação é o ponto de partida para chegar às funções racionais.

Definição

Sejam ff e gg duas funções reais de variável real. A função quociente fg\dfrac{f}{g} é definida por:

(fg)(x)=f(x)g(x)\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

O seu domínio é:

Df/g=(Df∩Dg)∖{x∈Dg:g(x)=0}D_{f/g} = (D_f \cap D_g) \setminus \{ x \in D_g : g(x) = 0 \}

Por palavras: o xx tem de estar em ambos os domínios, e o denominador g(x)g(x) não pode ser zero.

Zeros da função quociente

(fg)(x)=0  ⟺  f(x)g(x)=0  ⟺  f(x)=0  ∧  x∈Df/g\left( \frac{f}{g} \right)(x) = 0 \iff \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \iff f(x) = 0 \;\land\; x \in D_{f/g}

Ou seja: os zeros do quociente são os zeros do numerador que estão no domínio do quociente.

Propriedades úteis

  • A divisão não é comutativa: em geral, fg≠gf\dfrac{f}{g} \neq \dfrac{g}{f}.
  • Se ff e gg são polinomiais, fg\dfrac{f}{g} é uma função racional (matéria do próximo tema).
  • Os pontos onde g(x)=0g(x) = 0 ficam excluídos do domínio, geram normalmente assíntotas verticais.

Exemplo 1

Sendo f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 e g(x)=x−2g(x) = x - 2 (ambas com domínio R\mathbb{R}):

(fg)(x)=x2−4x−2=(x−2)(x+2)x−2\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}

Atenção: embora a expressão simplifique para x+2x + 2, o domínio é R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} — o ponto x=2x = 2 continua excluído porque ali g(x)=0g(x) = 0.

Df/g=R∖{2}D_{f/g} = \mathbb{R} \setminus \{2\}

Exemplo 2 (domínios diferentes)

Sendo f(x)=xf(x) = \sqrt{x} (com Df=[0,+∞[D_f = [0, +\infty[) e g(x)=x2−1g(x) = x^2 - 1 (com Dg=RD_g = \mathbb{R}):

(fg)(x)=xx2−1\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 - 1}

Os pontos a excluir são aqueles onde g(x)=0g(x) = 0, ou seja, x=−1x = -1 ou x=1x = 1. Mas −1∉Df-1 \notin D_f, portanto o único a excluir efetivamente é x=1x = 1.

Df/g=[0,+∞[∖{1}=[0,1[  ∪  ]1,+∞[D_{f/g} = [0, +\infty[ \setminus \{1\} = [0, 1[ \;\cup\; ]1, +\infty[

💡 Dicas

  • O ponto x=ax = a onde g(a)=0g(a) = 0 não desaparece do domínio só porque a expressão simplifica, fica como descontinuidade (ou assíntota, ou "buraco" no gráfico).
  • Antes de simplificar a fração, escreve sempre o domínio com base nos domínios originais.
  • Os zeros do quociente são os pontos onde f(x)=0f(x) = 0 e x∈Df/gx \in D_{f/g}.