Operações com Funções

✖️ Multiplicação de Funções

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Multiplicar funções permite-nos construir novas funções a partir de outras já conhecidas. Funciona ponto a ponto e o domínio do resultado depende dos domínios originais.

Definição

Dadas duas funções $f$ e $g$ , a sua multiplicação (ou produto) é a função definida por:

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

O domínio é a interseção dos domínios:

D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g

Só faz sentido multiplicar $f(x)$ por $g(x)$ nos pontos onde ambas estão definidas.

Propriedades úteis

Se $f$ e $g$ são polinomiais, $f \cdot g$ é polinomial e o seu grau é a soma dos graus.

Multiplicar uma função por um escalar $c \in \mathbb{R}$ corresponde a uma dilatação vertical de fator $|c|$ (com reflexão se $c < 0$ ).

Exemplo 1 (produto de polinómios)

Sendo $f(x) = x + 2$ e $g(x) = x^2 - 3x + 1$ (ambas com domínio $\mathbb{R}$ ):

(f \cdot g)(x) = (x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2

$D_{f \cdot g} = \mathbb{R}$ .

Exemplo 2 (domínios diferentes)

Sendo $f(x) = \sqrt{x - 2}$ (com $D_f = [2, +\infty[$ ) e $g(x) = \dfrac{1}{x}$ (com $D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ):

(f \cdot g)(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x}

D_{f \cdot g} = [2, +\infty[ \;\cap\; \mathbb{R} \setminus \{0\} = [2, +\infty[

(Como $0 \notin [2, +\infty[$ , o ponto problemático de $g$ já estava excluído.)

💡 Dicas

Como acontece com a soma, o domínio é sempre a interseção dos domínios, nunca te esqueças disto antes de simplificar.

Se uma das funções for ímpar e a outra par, o produto é uma função ímpar; se ambas forem pares (ou ambas ímpares), o produto é uma função par.

O sinal de $(f \cdot g)(x)$ resulta da regra dos sinais aplicada aos sinais de $f(x)$ e $g(x)$ em cada zona; útil para fazer estudo de sinal rapidamente.