Operações com Funções

➕ Adição e Subtração de Funções

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Tal como acontece com números, também é possível somar e subtrair funções. A novidade é que, para o resultado fazer sentido, é preciso ter atenção aos domínios das funções envolvidas.

Definição

Dadas duas funções reais de variável real $f$ e $g$ , definem-se a sua soma e diferença ponto a ponto:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Em ambos os casos, o domínio do resultado é a interseção dos domínios:

D_{f + g} = D_{f - g} = D_f \cap D_g

A ideia é simples: só faz sentido somar/subtrair $f(x)$ e $g(x)$ nos pontos $x$ onde ambas as funções estão definidas.

Propriedades úteis

Se $f$ e $g$ são ambas polinomiais, $f + g$ e $f - g$ são polinomiais.

O grau da soma/diferença é, no máximo, o maior dos graus de $f$ e $g$ (pode descer se houver cancelamentos).

Exemplo 1 (domínios iguais)

Sendo $f(x) = x^2 - 1$ e $g(x) = 3x + 2$ , ambos com domínio $\mathbb{R}$ :

(f + g)(x) = x^2 - 1 + 3x + 2 = x^2 + 3x + 1

(f - g)(x) = x^2 - 1 - (3x + 2) = x^2 - 3x - 3

$D_{f+g} = D_{f-g} = \mathbb{R}$ .

Exemplo 2 (domínios diferentes)

Sendo $f(x) = \sqrt{x}$ (com $D_f = [0, +\infty[$ ) e $g(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ (com $D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ ):

(f + g)(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 1}

D_{f + g} = [0, +\infty[ \;\cap\; \mathbb{R} \setminus \{1\} = [0, +\infty[ \setminus \{1\} = [0, 1[ \;\cup\; ]1, +\infty[

💡 Dicas

O passo crítico está em determinar o domínio antes de simplificar a expressão.

Mesmo que a expressão final pareça estar definida em todo o $\mathbb{R}$ , o domínio fica limitado pela interseção dos domínios originais.

Para somar/subtrair graficamente, basta empilhar (ou retirar) verticalmente os valores das duas funções em cada $x$ .