Definição e termos

Um polinómio na variável $x$ é uma expressão da forma:

em que:

• $n \in \mathbb{N}_0$

• $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 \in \mathbb{R}$ são os coeficientes

• Cada parcela $a_k x^k$ chama-se monómio (ou termo)

• O grau é o maior expoente cujo coeficiente é diferente de zero (se $a_n \neq 0$, o grau é $n$)

• $a_0$ é o termo independente

Um polinómio diz-se completo se tiver termos de todos os graus de 0 até $n$, e ordenado se estiver escrito por ordem (crescente ou decrescente) dos expoentes.

Operações entre polinómios

Com polinómios, podemos somar, subtrair e multiplicar — tudo segue regras intuitivas, desde que tenhas em mente como juntar termos:

• Soma e diferença: juntam-se os termos semelhantes, ou seja, aqueles que têm o mesmo expoente em $x$.

• Produto: aplica-se a propriedade distributiva — cada termo de um polinómio multiplica todos os termos do outro.

• O grau do produto é a soma dos graus dos polinómios.

Exemplo (soma e diferença)

Sendo $P(x) = 2x^2 + 3x - 1$ e $Q(x) = x - 2$, juntamos os termos com o mesmo expoente:

Repara que $2x^2$ não tem "par" em $Q(x)$ — por isso fica como está.

Exemplo (produto)

Para multiplicar $P(x) \cdot Q(x)$, distribuímos cada termo de $P(x)$ por cada termo de $Q(x)$:

Passo a passo:

Por fim, juntamos os termos semelhantes ($-4x^2 + 3x^2 = -x^2$ e $-6x - x = -7x$):

Divisão inteira (algoritmo da divisão)

Dados dois polinómios $A(x)$ (dividendo) e $B(x)$ (divisor), com $B(x)$ não nulo, existem únicos polinómios $Q(x)$ (quociente) e $R(x)$ (resto) tais que:

onde $R(x) = 0$ ou o grau de $R(x)$ é menor que o grau de $B(x)$.

Quando $R(x) = 0$, diz-se que $A(x)$ é divisível por $B(x)$.

Regra de Ruffini

Quando o divisor é da forma $x - \alpha$, com $\alpha \in \mathbb{R}$, usa-se a Regra de Ruffini: um método rápido que dispensa a divisão "longa".

Como aplicar

1. Escreve-se uma linha com os coeficientes do dividendo (todos, incluindo zeros para os termos em falta), por ordem decrescente do expoente.

1. À esquerda, escreve-se $\alpha$ — atenção: se o divisor for $x + 2$, então $\alpha = -2$.

1. Baixa-se o primeiro coeficiente. Multiplica-se por $\alpha$ e soma-se ao próximo coeficiente, e assim sucessivamente.

1. O último valor é o resto; os restantes formam os coeficientes do quociente (de grau uma unidade inferior ao do dividendo).

Exemplo

Dividir $2x^3 + 5x^2 - 3$ por $x + 2$ (logo $\alpha = -2$):

Verificamos: $2x^3 + 5x^2 - 3 = (x + 2)(2x^2 + x - 2) + 1$.

O quociente é $Q(x) = 2x^2 + x - 2$ e o resto é $R(x) = 1$.

Teorema do resto

Dado um polinómio $P(x)$ e um número real $\alpha$, o resto da divisão de $P(x)$ por $x - \alpha$ é igual a $P(\alpha)$:

Daqui resulta uma consequência muito útil: $P(\alpha) = 0$ se e só se $x - \alpha$ é divisor de $P(x)$.

Raiz de um polinómio

Dado um polinómio $P(x)$, dá-se o nome de raiz (ou zero) de $P(x)$ a qualquer número real $\alpha$ tal que:

A multiplicidade de uma raiz $\alpha$ de um polinómio não nulo $P(x)$ é o maior número natural $n$ para o qual existe um polinómio $Q(x)$ tal que:

Se a multiplicidade da raiz é 1, a raiz diz-se simples.

Exemplo (decomposição em fatores)

Sabendo que 1 é raiz de $P(x) = x^3 - 3x + 2$, fatorizar.

Aplicando Ruffini com $\alpha = 1$: $P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 2)$.

Resolvendo $x^2 + x - 2 = 0$ pela fórmula resolvente: $x = 1$ ou $x = -2$. Logo:

Aqui, 1 é raiz de multiplicidade 2 (raiz dupla) e $-2$ é raiz simples.

💡 Dicas

• Para procurar raízes inteiras "à mão", testa os divisores do termo independente, esse é o critério mais rápido.

• Antes de aplicar Ruffini, garante que o polinómio está ordenado e completo (preenche com 0 os termos em falta).

• Cuidado com o sinal de $\alpha$ na Regra de Ruffini: se divides por $x + 2$, usa $\alpha = -2$; se divides por $x - 2$, usa $\alpha = 2$.

• Um polinómio de grau $n$ tem, no máximo, $n$ raízes reais (contando multiplicidades).