Definição

Uma função quártica é uma função polinomial de grau 4, ou seja, definida por uma expressão do tipo:

com $a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$.

• Domínio: $\mathbb{R}$

• Nº de zeros: 0, 1, 2, 3 ou 4 zeros

Comportamento no infinito

O termo dominante para $|x|$ grande é $ax^4$. Como $x^4 \geq 0$, o sinal de $a$ controla tudo:

• Se $a > 0$: quando $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$ e, quando $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$

• Se $a < 0$: quando $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$ e, quando $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$

Ao contrário das cúbicas, as quárticas têm sempre um extremo absoluto (mínimo se $a > 0$, máximo se $a < 0$).

Caso particular: $f(x) = ax^4$

A função $f(x) = ax^4$ é o modelo mais simples desta família.

• Passa pela origem $(0, 0)$, que é simultaneamente o seu único zero e o seu extremo absoluto

• É par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo $Oy$, ou seja, $f(-x) = f(x)$

• Se $a > 0$: tem mínimo absoluto em 0, é decrescente em $]{-}\infty, 0]$ e crescente em $[0, +\infty[$

• Se $a < 0$: tem máximo absoluto em 0, é crescente em $]{-}\infty, 0]$ e decrescente em $[0, +\infty[$

Comparada com a parábola $y = x^2$, a curva $y = x^4$ é mais "achatada" perto da origem e sobe muito mais depressa à medida que $|x|$ cresce.

Zeros de uma função quártica

Para encontrar os zeros, resolvemos $f(x) = 0$. As estratégias mais comuns são:

• Procurar uma raiz "à mão" e aplicar Ruffini para baixar o grau

• Se a equação for biquadrada ($ax^4 + cx^2 + e = 0$), usar a substituição $y = x^2$

• Tentar pôr em evidência ou agrupar termos

Exemplo

Determinar os zeros de $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ (biquadrada).

Substituindo $y = x^2$: $y^2 - 5y + 4 = 0$, donde $y = 1$ ou $y = 4$.

Voltando à variável original:

• $x^2 = 1 \iff x = \pm 1$

• $x^2 = 4 \iff x = \pm 2$

Os zeros são $x = -2$, $x = -1$, $x = 1$ e $x = 2$, pelo que:

Experimenta no GeoGebra

Explora visualmente o efeito dos parâmetros numa quártica com este GeoGebra interativo: