Definição

Uma função cúbica é uma função polinomial de grau 3, ou seja, da forma:

com $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

• Domínio: $\mathbb{R}$

• Contradomínio: $\mathbb{R}$

• Não tem máximo nem mínimo absolutos (mas pode ter relativos)

• Tem entre 1 e 3 zeros reais

Comportamento no infinito

Para valores muito grandes de $|x|$, o termo dominante é $ax^3$. Daqui resulta que:

• Se $a > 0$: quando $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$ e, quando $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$

• Se $a < 0$: quando $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$ e, quando $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$

Caso particular: $f(x) = ax^3$

A função $f(x) = ax^3$ é o modelo a partir do qual se obtêm as cúbicas mais gerais por transformações.

• Passa pela origem $(0, 0)$

• É ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem, ou seja, $f(-x) = -f(x)$

• Se $a > 0$, é estritamente crescente em $\mathbb{R}$

• Se $a < 0$, é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$

• $|a|$ controla a "abertura" vertical: quanto maior, mais "esticada" fica a curva

Zeros de uma função cúbica

Para encontrar os zeros, resolvemos $f(x) = 0$. As estratégias mais úteis são:

• Procurar uma raiz "à mão" (geralmente entre os divisores do termo independente)

• Aplicar a Regra de Ruffini para dividir por $x - \alpha$

• Resolver a equação de 2º grau resultante (com a fórmula resolvente)

Exemplo

Determinar os zeros de $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$.

Testando $x = 1$: $1 - 2 - 1 + 2 = 0$. Logo, 1 é zero.

Aplicando Ruffini, $f(x) = (x - 1)(x^2 - x - 2)$.

Resolvendo $x^2 - x - 2 = 0$: $x = 2$ ou $x = -1$.

Os zeros são $x = -1$, $x = 1$ e $x = 2$, pelo que:

Experimenta no GeoGebra

Para perceberes na prática como cada parâmetro altera o gráfico, mexe nos sliders deste GeoGebra interativo: