Progressões Geométricas

✖️ Progressões Geométricas

📄

Uma progressão geométrica é uma sucessão em que o quociente entre termos consecutivos é sempre o mesmo. Esse quociente constante chama-se razão.

Definição

A progressão geométrica de primeiro termo $a \in \mathbb{R}$ e razão $r \in \mathbb{R}$ é a sucessão $(u_n)$ definida, por recorrência, da seguinte forma:

\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = r \times u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \end{cases}

Se $a \neq 0$ e $r \neq 0$ , temos que $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ :

\frac{u_{n+1}}{u_n} = r

Termo geral

O termo geral de uma progressão geométrica $(u_n)$ de razão $r$ , não nula, é:

u_n = u_1 \times r^{n-1} , \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}

De forma mais geral, podemos calcular qualquer termo a partir de outro:

u_n = u_p \times r^{n-p} , \quad \forall n, p \in \mathbb{N} \setminus \{0\}

Comportamento das sucessões do tipo $a^n$

As sucessões da forma $a^n$ têm um comportamento que depende do valor de $a$ :

Se $a > 1$ , diz-se que $a^n$ tende para $+\infty$

Se $0 < a < 1$ , diz-se que $a^n$ tende para 0

Monotonia

	$u_1 > 0$	$u_1 < 0$
$r > 1$	Crescente	Decrescente
$0 < r < 1$	Decrescente	Crescente
$r < 0$ e $u_1 \neq 0$	Não monótona (alternada)	Não monótona (alternada)

Soma dos n primeiros termos

Se $r \neq 1$ , a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica $(u_n)$ é:

S_n = u_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r}

Se $r = 1$ , todos os termos são iguais ao primeiro, pelo que $S_n = n \times u_1$ .

Soma infinita

Se $|r| < 1$ , a soma infinita de uma progressão geométrica $(u_n)$ de razão $r$ é:

S = \frac{u_1}{1 - r}

Isto acontece porque, quando $|r| < 1$ , os termos da progressão geométrica vão diminuindo em valor absoluto e tendem para 0, o que faz com que a soma “convirja” para um valor finito.