Sucessões Progressões Aritméticas e Geométricas·➕ Progressões Aritméticas
Progressões Aritméticas

➕ Progressões Aritméticas

📄
Uma progressão aritmética é uma sucessão em que a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante chama-se razão.

Definição

A progressão aritmética de primeiro termo a∈Ra \in \mathbb{R} e razão r∈Rr \in \mathbb{R} é a sucessão (un)(u_n) definida, por recorrência, da seguinte forma:

{u1=aun+1=un+r,∀n∈N∖{0}\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = u_n + r, \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \end{cases}

Ou seja, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual à razão:

un+1−un=r,∀n∈N∖{0}u_{n+1} - u_n = r , \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}

Monotonia

Seja (un)(u_n) uma progressão aritmética de razão rr:

  • Se r>0r > 0, a sucessão é crescente
  • Se r<0r < 0, a sucessão é decrescente
  • Se r=0r = 0, a sucessão é constante

Termo geral

O termo geral de uma progressão aritmética (un)(u_n) de razão rr é:

un=u1+(n−1)r,∀n∈N∖{0}u_n = u_1 + (n - 1)r , \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}

De forma mais geral, podemos calcular qualquer termo a partir de outro:

un=up+(n−p)r,∀n,p∈N∖{0}u_n = u_p + (n - p)r , \quad \forall n, p \in \mathbb{N} \setminus \{0\}

Soma dos n primeiros termos

A soma dos nn primeiros termos de uma progressão aritmética (un)(u_n) é:

Sn=u1+un2×nS_n = \frac{u_1 + u_n}{2} \times n

Esta fórmula vem do facto de que a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pelo número de termos, nos dá a soma total.