Função Derivada

📐 Função Derivada

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A função derivada de

f

atribui, a cada ponto onde

f

tem derivada finita, o valor dessa derivada. Permite estudar a função sem ter de calcular o limite ponto a ponto.

Definição

Seja $f$ uma função real de variável real. Dá-se o nome de função derivada de $f$ , e representa-se por $f'$ , à função que:

tem como domínio o conjunto dos elementos de $D_f$ que têm derivada finita (número real);

a cada elemento $x_0$ do domínio faz corresponder $f'(x_0)$ .

Por outras palavras, $f'$ é a função que recebe um $x$ e devolve a derivada de $f$ nesse ponto, isto é, o declive da reta tangente ao gráfico de $f$ em $(x, f(x))$ .

Notações

A derivada de $f$ pode aparecer com várias notações equivalentes:

f'(x) \quad , \quad \frac{df}{dx} \quad , \quad \frac{dy}{dx} \quad , \quad (f(x))'

A notação $f'(x)$ é a mais usada no secundário.

Como obter a função derivada

Na prática, raramente se aplica a definição (limite) ponto a ponto. Usam-se regras de derivação que dizem, de imediato, qual é a derivada das funções de referência e como se combinam derivadas em somas, produtos e quocientes.

Mesmo assim, é útil conhecer as derivadas de algumas funções básicas obtidas diretamente da definição:

$f(x)$	$f'(x)$
$f(x) = k$ (constante, $k \in \mathbb{R}$ )	$f'(x) = 0$
$f(x) = kx$ ( $k \in \mathbb{R}$ )	$f'(x) = k$
$f(x) = x^n$ ( $n \in \mathbb{N}$ )	$f'(x) = n\,x^{n-1}$
$f(x) = kx^n$ ( $k \in \mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{N}$ )	$f'(x) = nk\,x^{n-1}$

Exemplo

Seja $f(x) = 3x^2 - 5x + 4$ . A função derivada é, pela aplicação direta das regras acima e das regras da soma/diferença:

f'(x) = 6x - 5

Agora, para saber a derivada num ponto, basta substituir. Por exemplo, $f'(2) = 6 \times 2 - 5 = 7$

O declive da reta tangente em $x = 2$ é $7$ .

Relação com a função original

O gráfico da função derivada $f'$ "lê" a inclinação do gráfico de $f$ em cada ponto:

onde $f$ é crescente, $f'$ é positiva (acima do eixo $Ox$ );

onde $f$ é decrescente, $f'$ é negativa (abaixo do eixo $Ox$ );

nos pontos onde $f$ tem tangente horizontal (máximos, mínimos), $f'$ anula-se.

Experimenta no GeoGebra

Neste applet podes escrever a tua própria função e visualizar, lado a lado, o gráfico de $f$ e o da sua derivada $f'$ . Observa como o sinal de $f'$ corresponde à monotonia de $f$ :