Cálculo Diferencial·📋 Regras de Derivação
Regras de Derivação

📋 Regras de Derivação

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As regras de derivação permitem calcular derivadas sem recorrer à definição (limite). Bastam quatro "derivadas-base" e quatro regras de combinação para derivar quase tudo o que aparece no secundário.

Derivadas das funções de referência

Sejam ff e gg funções reais de variável real.

f(x)f(x)f(x)=kf(x) = k, k∈Rk \in \mathbb{R}f(x)=kxf(x) = kx, k∈Rk \in \mathbb{R}f(x)=xnf(x) = x^n, n∈Nn \in \mathbb{N}f(x)=kxnf(x) = kx^n, k∈Rk \in \mathbb{R}, n∈Nn \in \mathbb{N}
f′(x)f'(x)f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=kf'(x) = kf′(x)=n xn−1f'(x) = n\,x^{n-1}f′(x)=nk xn−1f'(x) = nk\,x^{n-1}
Exemplos(7)′=0(7)' = 0(8x)′=8(8x)' = 8(x4)′=4x3(x^4)' = 4x^3(7x3)′=21x2(7x^3)' = 21x^2

Regras de combinação

OperaçãoFórmula
Derivada da soma/diferença(f±g)′(x)=f′(x)±g′(x)(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)
Derivada do produto(f×g)′(x)=f′(x)×g(x)+g′(x)×f(x)(f \times g)'(x) = f'(x) \times g(x) + g'(x) \times f(x)
Derivada do quociente (g(x)≠0g(x) \neq 0)(fg)′(x)=f′(x)×g(x)−g′(x)×f(x)(g(x))2\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x) \times g(x) - g'(x) \times f(x)}{(g(x))^2}
Derivada da potência de expoente natural(fn)′(x)=n×f n−1(x)×f′(x)(f^n)'(x) = n \times f^{\,n-1}(x) \times f'(x)

Exemplos

FunçãoDerivada
(x3+5x2)′(x^3 + 5x^2)'=3x2+10x= 3x^2 + 10x
(7x4)′(7x^4)'=28x3= 28x^3
(10x)′\left(\dfrac{10}{x}\right)'=−10x2= -\dfrac{10}{x^2}
((x3+1)2)′\left((x^3 + 1)^2\right)'=2(x3+1)×3x2=6x2(x3+1)= 2(x^3+1) \times 3x^2 = 6x^2(x^3 + 1)

Exemplo com a regra do produto

Derivar h(x)=(2x+1)(x2−3)h(x) = (2x + 1)(x^2 - 3).

Fazemos f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 e g(x)=x2−3g(x) = x^2 - 3, donde f′(x)=2f'(x) = 2 e g′(x)=2xg'(x) = 2x.

h′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)=2(x2−3)+2x(2x+1)=6x2+2x−6h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) = 2(x^2 - 3) + 2x(2x + 1) = 6x^2 + 2x - 6

Exemplo com a regra do quociente

Derivar q(x)=x+1x−2q(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}.

Fazemos f(x)=x+1f(x) = x + 1 e g(x)=x−2g(x) = x - 2, donde f′(x)=1f'(x) = 1 e g′(x)=1g'(x) = 1.

q′(x)=1×(x−2)−1×(x+1)(x−2)2=−3(x−2)2q'(x) = \frac{1 \times (x - 2) - 1 \times (x + 1)}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}

💡 Dicas

  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Basta derivar termo a termo.
  • Antes de aplicar a regra do quociente, vê se podes simplificar a expressão. Muitas vezes uma divisão polinomial deixa-te com algo bem mais fácil de derivar.
  • Na regra do produto, é fácil esquecer um termo. Escreve sempre f′g+g′ff'g + g'f ordenadamente antes de simplificar.