Trigonometria e Funções Trigonométricas·📐 Radiano e Redução ao 1.º Quadrante
Redução ao 1.º Quadrante

📐 Radiano e Redução ao 1.º Quadrante

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O radiano é uma unidade de medida de ângulos em matemática. A redução ao 1.º quadrante permite-nos calcular razões trigonométricas de qualquer ângulo.

Radiano

Um radiano (rad) é a amplitude do ângulo ao centro que determina, em qualquer circunferência, um arco de comprimento igual ao seu raio.

Como uma circunferência completa tem perímetro 2πr2\pi r, uma volta completa corresponde a 2π2\pi rad:

360°=2π rad,180°=π rad360° = 2\pi \text{ rad} \quad , \quad 180° = \pi \text{ rad}

Ângulos mais comuns

Graus0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
Radianos00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}2π3\frac{2\pi}{3}3π4\frac{3\pi}{4}5π6\frac{5\pi}{6}π\pi3π2\frac{3\pi}{2}2π2\pi

Redução ao 1.º quadrante

Podemos transformar as razões trigonométricas de qualquer ângulo em razões de um ângulo do 1.º quadrante (entre 0 e π2\frac{\pi}{2}). As regras dependem do quadrante:

Ângulo
2.º Q: π−α\pi - \alphasin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha) = \sin \alphacos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alphatan⁡(π−α)=−tan⁡α\tan(\pi-\alpha) = -\tan \alpha
3.º Q: π+α\pi + \alphasin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha) = -\sin \alphacos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alphatan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha
4.º Q: −α- \alphasin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin \alphacos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alphatan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha) = -\tan \alpha

Relação entre senos e cossenos de α\alpha e π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha

Quando passamos de α\alpha para π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha, o seno e o cosseno trocam entre si (podendo mudar de sinal):

sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos \alphacos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alphasin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha) = \cos \alphacos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos (\frac{\pi}{2}+\alpha) = - \sin \alpha