Funções Trigonométricas

📐 Funções Trigonométricas

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As funções seno, cosseno e tangente associam a cada número real a respetiva razão trigonométrica. São funções periódicas - os seus valores repetem-se em intervalos regulares.

Função seno

A função seno é definida por:

\sin : \mathbb{R} \to [-1{,}1] \quad , \quad x \mapsto \sin x

Domínio: $\mathbb{R}$

Contradomínio: $[-1{,}1]$

Período: $2\pi$

Máximo: $1$ , atingido em $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Mínimo: $-1$ , atingido em $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Zeros: $x = k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Função cosseno

A função cosseno é definida por:

\cos : \mathbb{R} \to [-1{,}1] \quad , \quad x \mapsto \cos x

Domínio: $\mathbb{R}$

Contradomínio: $[-1{,}1]$

Período: $2\pi$

Máximo: $1$ , atingido em $x = 2k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Mínimo: $-1$ , atingido em $x = \pi + 2k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Zeros: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Função tangente

A função tangente é definida por:

\tan : \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi {,}\ k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \tan x

Domínio: $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi {,}\ k \in \mathbb{Z}\right\}$

Contradomínio: $\mathbb{R}$

Período: $\pi$

Zeros: $x = k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ )

Não tem máximo nem mínimo

A função tangente tem assíntotas (aproximam-se de um valor, mas nunca chegam verdadeiramente a ele) verticais nas retas $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (com $k \in \mathbb{Z}$ ), ou seja, nos pontos onde não está definida.

Funções periódicas

Uma função $f$ é periódica de período $p$ quando, para todo o $x$ do domínio, $x + p$ também pertence ao domínio e:

f(x + p) = f(x)

O período positivo mínimo de funções do tipo $y = \sin(cx)$ e $y = \cos(cx)$ , com $c \neq 0$ , é:

p = \frac{2\pi}{|c|}