Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, considerando um ângulo agudo $\alpha$, com cateto oposto $b$, cateto adjacente $a$ e hipotenusa $c$, temos três razões trigonométricas:

$$\sin \alpha = \frac{b}{c} \quad , \quad \cos \alpha = \frac{a}{c} \quad , \quad \tan \alpha = \frac{b}{a}$$

Como $\alpha$ é um ângulo agudo de um triângulo retângulo:

• $0 < \sin \alpha < 1$

• $0 < \cos \alpha < 1$

• $\tan \alpha > 0$

Ângulos orientados

Um ângulo orientado tem um lado origem e um lado extremidade. Há duas formas de rodar do lado origem para o lado extremidade:

• Orientação positiva - rodamos no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio

• Orientação negativa - rodamos no sentido dos ponteiros do relógio

Ângulos generalizados

Quando um ângulo dá mais do que uma volta completa (ou roda no sentido negativo), dizemos que é um ângulo generalizado. Qualquer ângulo generalizado pode ser escrito como:

$$\alpha + n \times 360° \quad , \quad n \in \mathbb{Z}$$

sendo $\alpha$ um ângulo orientado ou nulo.

Exemplo

• $750° = 30° + 2 \times 360°$

• $-1350° = -270° - 3 \times 360°$

Razões trigonométricas no círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Para um ângulo $\alpha$, consideramos:

• $P$ - ponto da circunferência

• $t$ - reta tangente à circunferência no ponto $(1{,}0)$

• $T$ - ponto onde a reta que contém o lado extremidade cruza a reta $t$

As coordenadas de $P$ são $(\cos \alpha {,}\ \sin \alpha)$ e as coordenadas de $T$ são $(1{,}\ \tan \alpha)$.

Ângulos generalizados no círculo

Para qualquer ângulo generalizado $\alpha + n \times 360°$ (com $n \in \mathbb{Z}$):

Além disso, a tangente repete-se a cada meia volta: $\tan(\alpha + n \times 180°) = \tan \alpha$.

Nota: quando o lado extremidade de $\alpha$ está sobre o eixo $Oy$, a tangente não existe.

Fórmulas trigonométricas

Fórmula fundamental da trigonometria

Tangente

Relação com a tangente