Produto Escalar·🔘 Produto Escalar
Produto Escalar

🔘 Produto Escalar

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O produto escalar é uma operação entre dois vetores que resulta num número real. Permite-nos calcular ângulos entre vetores e tem uma expressão simples quando conhecemos as coordenadas dos vetores.

Ângulo de dois vetores

Sejam u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} dois vetores não nulos. O ângulo formado por estes dois vetores corresponde ao ângulo convexo por eles formado, quando aplicados no mesmo ponto, e a sua amplitude representa-se por (u⃗,v⃗^)(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).

0°≤(u⃗,v⃗^)≤180°0° \leq (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) \leq 180°

Casos particulares:

  • Se u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} têm o mesmo sentido, então (u⃗,v⃗^)=0°(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = 0°
  • Se u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} têm sentidos opostos, então (u⃗,v⃗^)=180°(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = 180°

Definição de produto escalar

Dados dois vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, não nulos, no plano ou no espaço, o produto escalar de u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} é dado por:

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗^)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})

Sinal do produto escalar

CondiçãoÂnguloSinal
u⃗⋅v⃗>0\vec{u} \cdot \vec{v} > 00°≤(u⃗,v⃗^)<90°0° \leq (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) < 90°Ângulo agudo
u⃗⋅v⃗<0\vec{u} \cdot \vec{v} < 090°<(u⃗,v⃗^)≤180°90° < (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) \leq 180°Ângulo obtuso
u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0(u⃗,v⃗^)=90°(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = 90°Vetores perpendiculares

Se um dos vetores é o vetor nulo, então u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Expressão em coordenadas

Fixado um referencial o.n. OxyOxy (no plano) ou OxyzOxyz (no espaço), com u⃗(u1,u2)\vec{u}(u_1, u_2) e v⃗(v1,v2)\vec{v}(v_1, v_2):

No plano

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2

No espaço

Com u⃗(u1,u2,u3)\vec{u}(u_1, u_2, u_3) e v⃗(v1,v2,v3)\vec{v}(v_1, v_2, v_3):

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

Ângulo formado por dois vetores - fórmula

Dados dois vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, não nulos, podemos calcular o cosseno do ângulo entre eles:

cos⁡(u⃗,v⃗^)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}

Exemplo - Ângulo entre dois vetores

Sejam u⃗(1,2)\vec{u}(1, 2) e v⃗(3,−1)\vec{v}(3, -1) no plano.

u⃗⋅v⃗=1×3+2×(−1)=3−2=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1
∥u⃗∥=12+22=5\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}
∥v⃗∥=32+(−1)2=10\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}
cos⁡(u⃗,v⃗^)=15×10=150=152\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}