Equação de um plano definido por um ponto e um vetor normal

Seja $A(x_0, y_0, z_0)$ um ponto de um plano $\alpha$ e $\vec{v}(a, b, c)$ um vetor não nulo, normal a $\alpha$.

O plano $\alpha$ pode ser representado por equações cartesianas do tipo:

Desenvolvendo, obtemos a forma geral:

onde $d = -ax_0 - by_0 - cz_0$.

Planos paralelos e planos perpendiculares

Dados dois planos $\alpha$ e $\beta$, com vetores normais $\vec{u}_\alpha$ e $\vec{v}_\beta$:

Planos paralelos

Se qualquer ponto de um dos planos pertence ao outro plano, os planos são coincidentes.

Planos perpendiculares

Ou seja, os planos são perpendiculares quando os seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar igual a zero).

Posição relativa de retas e planos

Sejam $\vec{r}$ um vetor diretor de uma reta $r$ e $\vec{n}$ um vetor normal a um plano $\alpha$.

Reta perpendicular ao plano

Reta paralela ao plano

Ou seja, a reta é paralela ao plano quando o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano (produto escalar igual a zero).

Distância de um ponto a um plano

Dado um ponto $P$ e um plano $\alpha$, seja $r$ a reta que passa em $P$ e é perpendicular a $\alpha$.

A distância de $P$ ao plano $\alpha$ é igual a $\overline{PR}$, sendo $R$ o ponto de interseção da reta $r$ com o plano $\alpha$.

Se $P \in \alpha$, a distância de $P$ a $\alpha$ é $0$.

Exemplo - Equação de um plano

Seja $A(1, 2, -1)$ um ponto do plano $\alpha$ e $\vec{n}(3, -1, 2)$ um vetor normal a $\alpha$.

A equação do plano é: