Geometria Analítica·📐 Vetores
Vetores no Plano e no Espaço

📐 Vetores

📄
Os vetores permitem descrever deslocamentos, direções e sentidos tanto no plano como no espaço. Aqui vamos ver o que define um vetor, como operar com vetores e como trabalhar com as suas coordenadas.

Norma de um vetor

A norma de um vetor v⃗\vec{v} é o comprimento de um segmento orientado que o representa. Escrevemos ∥v⃗∥\|\vec{v}\|:

∥v⃗∥=x2+y2\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2}

No plano

∥v⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

No espaço

Por exemplo, no plano, se u⃗\vec{u} vai de O(0,0)O(0, 0) até (1,1)(1, 1), a norma é ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = \sqrt{2}. No espaço, se v⃗\vec{v} vai de O(0,0,0)O(0, 0, 0) até (1,1,1)(1, 1, 1), a norma é ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = \sqrt{3}.

Vetores colineares

Vetores colineares são vetores que têm a mesma direção - ou seja, as retas suporte dos seus representantes são paralelas ou coincidem.

Dois vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são colineares se e só se existe λ∈R\lambda \in \mathbb{R} tal que:

u⃗=λv⃗\vec{u} = \lambda\vec{v}

Regra prática (por coordenadas)

Como u⃗=λv⃗\vec{u} = \lambda\vec{v}, cada coordenada de u⃗\vec{u} é λ\lambda vezes a coordenada correspondente de v⃗\vec{v}. Na prática, dividimos as coordenadas uma a uma: se os quocientes derem todos o mesmo valor, os vetores são colineares e esse valor é precisamente o λ\lambda.

No plano, u⃗(u1,u2)\vec{u}(u_1, u_2) e v⃗(v1,v2)\vec{v}(v_1, v_2) (com as coordenadas de v⃗\vec{v} não nulas) são colineares se e só se:

u1v1=u2v2=λ\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \lambda

No espaço, estende-se à terceira coordenada:

u1v1=u2v2=u3v3=λ\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3} = \lambda

Por exemplo, u⃗(2,6)\vec{u}(2, 6) e v⃗(1,3)\vec{v}(1, 3) são colineares, porque 21=63=2\dfrac{2}{1} = \dfrac{6}{3} = 2. Então λ=2\lambda = 2 e u⃗=2v⃗\vec{u} = 2\vec{v}.

Vetores simétricos

Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção, o mesmo comprimento, mas sentidos opostos. O simétrico de v⃗\vec{v} escreve-se −v⃗-\vec{v}.

Soma de um ponto com um vetor

Dado um ponto PP e um vetor u⃗\vec{u}, existe um único ponto QQ tal que u⃗=PQ⃗\vec{u} = \vec{PQ}:

Q=P+u⃗Q = P + \vec{u}

Vetor como diferença de dois pontos

Dados dois pontos PP e QQ, a diferença Q−PQ - P é o vetor PQ⃗\vec{PQ}:

PQ⃗=Q−P\vec{PQ} = Q - P

Qualquer vetor pode ser escrito como a diferença entre o seu ponto extremidade e o seu ponto origem.

Propriedades da adição de vetores

  • Comutativa - u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}
  • Associativa - (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})
  • Elemento neutro - u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}
  • Elemento simétrico - u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}

Multiplicação por um escalar

O produto de v⃗\vec{v} por um escalar λ\lambda (com λ≠0\lambda \neq 0) é o vetor λv⃗\lambda\vec{v} com:

  • a mesma direção de v⃗\vec{v}
  • o mesmo sentido de v⃗\vec{v} se λ>0\lambda > 0, ou sentido oposto se λ<0\lambda < 0
  • norma igual a ∣λ∣×∥v⃗∥|\lambda| \times \|\vec{v}\|

Se λ=−1\lambda = -1, obtemos o vetor simétrico: (−1)×v⃗=−v⃗(-1) \times \vec{v} = -\vec{v}.

Um vetor u⃗\vec{u} não nulo é colinear a v⃗\vec{v} se e só se existe um único λ∈R\lambda \in \mathbb{R} tal que u⃗=λv⃗\vec{u} = \lambda\vec{v}.

MG→=−2CE→\overrightarrow{MG} = -2\overrightarrow{CE}MG=−2CE
MG→=−2CE→\overrightarrow{MG} = -2\overrightarrow{CE}

Propriedades

Para u⃗\vec{u} , v⃗\vec{v} vetores e λ\lambda , μ\mu reais:

  • (λ+μ)v⃗=λv⃗+μv⃗(\lambda + \mu)\vec{v} = \lambda\vec{v} + \mu\vec{v}
  • λ(u⃗+v⃗)=λu⃗+λv⃗\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda\vec{u} + \lambda\vec{v}
  • λ(μv⃗)=(λμ)v⃗\lambda(\mu\vec{v}) = (\lambda\mu)\vec{v}

Igualdade de vetores e coordenadas

No plano

Sejam u⃗(u1,u2)\vec{u}(u_1, u_2) e v⃗(v1,v2)\vec{v}(v_1, v_2) dois vetores num referencial o.n. do plano:

u⃗=v⃗⇔u1=v1∧u2=v2\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow u_1 = v_1 \wedge u_2 = v_2

No espaço

Sejam u⃗(u1,u2,u3)\vec{u}(u_1, u_2, u_3) e v⃗(v1,v2,v3)\vec{v}(v_1, v_2, v_3) dois vetores num referencial o.n. do espaço:

u⃗=v⃗⇔u1=v1∧u2=v2∧u3=v3\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow u_1 = v_1 \wedge u_2 = v_2 \wedge u_3 = v_3

Exemplo

Sendo u⃗(a2,a2−a)\vec{u}(a^2, a^2 - a) com a∈Ra \in \mathbb{R} e v⃗(4,2)\vec{v}(4, 2) :

u⃗=v⃗⇔a2=4∧a2−a=2\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow a^2 = 4 \wedge a^2 - a = 2

Da segunda condição: a2−a−2=0a^2 - a - 2 = 0 , que dá a=2a = 2 ou a=−1a = -1. Como a2=4a^2 = 4 implica a=2a = 2 ou a=−2a = -2 , a solução comum é a=2a = 2 .

Operações com coordenadas

No plano

Num referencial o.n., dados u⃗(u1,u2)\vec{u}(u_1, u_2) , v⃗(v1,v2)\vec{v}(v_1, v_2) e λ∈R\lambda \in \mathbb{R} :

  • Adição: u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)
  • Subtração: u⃗−v⃗=(u1−v1,u2−v2)\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)
  • Multiplicação por escalar: λu⃗=(λu1,λu2)\lambda\vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2)
  • Simétrico: −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = (-u_1, -u_2)
  • Vetor entre dois pontos A(a1,a2)A(a_1, a_2) e B(b1,b2)B(b_1, b_2) : AB⃗=(b1−a1,b2−a2)\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)
  • Soma de ponto com vetor: A+u⃗=(a1+u1,a2+u2)A + \vec{u} = (a_1 + u_1, a_2 + u_2)
  • Norma: ∥u⃗∥=u12+u22\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}

No espaço

Num referencial o.n., dados u⃗(u1,u2,u3)\vec{u}(u_1, u_2, u_3) , v⃗(v1,v2,v3)\vec{v}(v_1, v_2, v_3) e λ∈R\lambda \in \mathbb{R} :

  • Adição: u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)
  • Subtração: u⃗−v⃗=(u1−v1,u2−v2,u3−v3)\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3)
  • Multiplicação por escalar: λu⃗=(λu1,λu2,λu3)\lambda\vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3)
  • Simétrico: −u⃗=(−u1,−u2,−u3)-\vec{u} = (-u_1, -u_2, -u_3)
  • Vetor entre dois pontos A(a1,a2,a3)A(a_1, a_2, a_3) e B(b1,b2,b3)B(b_1, b_2, b_3) : AB⃗=(b1−a1,b2−a2,b3−a3)\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)
  • Soma de ponto com vetor: A+u⃗=(a1+u1,a2+u2,a3+u3)A + \vec{u} = (a_1 + u_1, a_2 + u_2, a_3 + u_3)
  • Norma: ∥u⃗∥=u12+u22+u32\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}