Norma de um vetor

A norma de um vetor $\vec{v}$ é o comprimento de um segmento orientado que o representa. Escrevemos $\|\vec{v}\|$:

Por exemplo, no plano, se $\vec{u}$ vai de $O(0, 0)$ até $(1, 1)$, a norma é $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$. No espaço, se $\vec{v}$ vai de $O(0, 0, 0)$ até $(1, 1, 1)$, a norma é $\|\vec{v}\| = \sqrt{3}$.

Vetores colineares

Vetores colineares são vetores que têm a mesma direção - ou seja, as retas suporte dos seus representantes são paralelas ou coincidem.

Dois vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares se e só se existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que:

Vetores simétricos

Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção, o mesmo comprimento, mas sentidos opostos. O simétrico de $\vec{v}$ escreve-se $-\vec{v}$.

Soma de um ponto com um vetor

Dado um ponto $P$ e um vetor $\vec{u}$, existe um único ponto $Q$ tal que $\vec{u} = \vec{PQ}$:

Vetor como diferença de dois pontos

Dados dois pontos $P$ e $Q$, a diferença $Q - P$ é o vetor $\vec{PQ}$:

Qualquer vetor pode ser escrito como a diferença entre o seu ponto extremidade e o seu ponto origem.

Propriedades da adição de vetores

• Comutativa - $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• Associativa - $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
• Elemento neutro - $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
• Elemento simétrico - $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$

Multiplicação por um escalar

O produto de $\vec{v}$ por um escalar $\lambda$ (com $\lambda \neq 0$) é o vetor $\lambda\vec{v}$ com:

• a mesma direção de $\vec{v}$

• o mesmo sentido de $\vec{v}$ se $\lambda > 0$, ou sentido oposto se $\lambda < 0$

• norma igual a $|\lambda| \times \|\vec{v}\|$

Se $\lambda = -1$, obtemos o vetor simétrico: $(-1) \times \vec{v} = -\vec{v}$.

Um vetor $\vec{u}$ não nulo é colinear a $\vec{v}$ se e só se existe um único $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{u} = \lambda\vec{v}$.

Propriedades

Para $\vec{u}$ , $\vec{v}$ vetores e $\lambda$ , $\mu$ reais:

• $(\lambda + \mu)\vec{v} = \lambda\vec{v} + \mu\vec{v}$

• $\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda\vec{u} + \lambda\vec{v}$

• $\lambda(\mu\vec{v}) = (\lambda\mu)\vec{v}$

Igualdade de vetores e coordenadas

No plano

Sejam $\vec{u}(u_1, u_2)$ e $\vec{v}(v_1, v_2)$ dois vetores num referencial o.n. do plano:

No espaço

Sejam $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ e $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ dois vetores num referencial o.n. do espaço:

Exemplo

Sendo $\vec{u}(a^2, a^2 - a)$ com $a \in \mathbb{R}$ e $\vec{v}(4, 2)$ :

Da segunda condição: $a^2 - a - 2 = 0$ , que dá $a = 2$ ou $a = -1$. Como $a^2 = 4$ implica $a = 2$ ou $a = -2$ , a solução comum é $a = 2$ .

Operações com coordenadas

No plano

Num referencial o.n., dados $\vec{u}(u_1, u_2)$ , $\vec{v}(v_1, v_2)$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ :

• Adição: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$

• Subtração: $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$

• Multiplicação por escalar: $\lambda\vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2)$

• Simétrico: $-\vec{u} = (-u_1, -u_2)$

• Vetor entre dois pontos $A(a_1, a_2)$ e $B(b_1, b_2)$ : $\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)$

• Soma de ponto com vetor: $A + \vec{u} = (a_1 + u_1, a_2 + u_2)$

• Norma: $\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

No espaço

Num referencial o.n., dados $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ , $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ :

• Adição: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$

• Subtração: $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3)$

• Multiplicação por escalar: $\lambda\vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3)$

• Simétrico: $-\vec{u} = (-u_1, -u_2, -u_3)$

• Vetor entre dois pontos $A(a_1, a_2, a_3)$ e $B(b_1, b_2, b_3)$ : $\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)$

• Soma de ponto com vetor: $A + \vec{u} = (a_1 + u_1, a_2 + u_2, a_3 + u_3)$

• Norma: $\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$