Equação da Reta

📐 Equação da Reta

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Para descrever uma reta analiticamente, precisamos de um ponto por onde ela passa e a sua direção. Aqui vamos ver como escrever equações de retas usando vetores - tanto no plano como no espaço - e como determinar quando duas retas são paralelas.

Direção de uma reta

Um vetor $\vec{v}$ não nulo tem a direção de uma reta $r$ quando as retas suporte dos representantes de $\vec{v}$ são paralelas a $r$ .

Os vetores u⃗\vec{u}u e v⃗\vec{v}v tem a direção da reta rrr. — Os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ tem a direção da reta $r$ .

Vetor diretor de uma reta

Chamamos vetor diretor de uma reta a qualquer vetor não nulo com a mesma direção dessa reta. Uma reta tem infinitos vetores diretores, mas todos são colineares entre si.

Os vetores u⃗\vec{u}u e v⃗\vec{v}v são vetores diretores da reta rrr. — Os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores diretores da reta $r$ .

Equação vetorial de uma reta

No plano

A reta que passa no ponto $A(a_1, a_2)$ com a direção do vetor $\vec{v}(v_1, v_2)$ tem como equação vetorial:

(x, y) = (a_1, a_2) + k(v_1, v_2), k \in \mathbb{R}

No espaço

A reta que passa no ponto $A(a_1, a_2, a_3)$ com a direção do vetor $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ :

(x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + k(v_1, v_2, v_3), k \in \mathbb{R}

Exemplos

No plano, a reta que passa por $A(0, 1)$ com vetor diretor $\vec{v}(2, 3)$ :

(x, y) = (0, 1) + k(2, 3),k \in \mathbb{R}

No espaço, a reta que passa por $A(0, 1, 1)$ com vetor diretor $\vec{v}(1, 2, 3)$ :

(x, y, z) = (0, 1, 1) + k(1, 2, 3), k \in \mathbb{R}

Equação reduzida de uma reta no plano

Uma reta não vertical, com vetor diretor $\vec{v}(v_1, v_2)$ onde $v_1 \neq 0$ , pode ser escrita na forma:

y = mx + b

onde $m = \frac{v_2}{v_1}$ é o declive da reta e $b$ é a ordenada na origem.

Exemplo

A reta que passa por $A(0, 1)$ com vetor diretor $\vec{v}(2, 3)$ tem declive $m = \frac{3}{2}$ e, como passa por $(0, 1)$ , a ordenada na origem é $b = 1$ :

y = \frac{3}{2}x + 1

Retas paralelas

Duas retas são paralelas se e só se os seus vetores diretores são colineares. No plano, para retas não verticais, isto equivale a terem o mesmo declive.

Exemplo - No plano

A reta $r$ tem equação $y = 3x - 2$ . Queremos encontrar a equação da reta $s$ , paralela a $r$ , que passa pelo ponto $P(1, 4)$ .

Como $s$ é paralela a $r$ , tem o mesmo declive: $m = 3$ .

Usando o ponto $P(1, 4)$ :

y - 4 = 3(x - 1) \Leftrightarrow y = 3x + 1