Reta de Euler

📄 Reta de Euler

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Num triângulo não equilátero, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro são colineares. A reta que contém estes três pontos chama-se reta de Euler. A distância do ortocentro ao baricentro é o dobro da distância do baricentro ao circuncentro.

Reta de Euler

O ortocentro ( $O$ ), o baricentro ( $G$ ) e o circuncentro ( $C$ ) de um triângulo não equilátero são colineares - estão sobre a mesma reta.

A reta que contém estes três pontos chama-se reta de Euler.

Propriedade

A distância do ortocentro ao baricentro é o dobro da distância do baricentro ao circuncentro:

\overline{OG} = 2 \times \overline{GC}

Localização dos Pontos Notáveis

A posição dos pontos notáveis depende do tipo de triângulo:

Triângulo equilátero - os quatro pontos notáveis (incentro, circuncentro, ortocentro e baricentro) são coincidentes

Triângulo retângulo - o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto e o circuncentro localiza-se no ponto médio da hipotenusa

Triângulo obtusângulo - o circuncentro e o ortocentro são exteriores ao triângulo

O baricentro e o incentro são sempre interiores ao triângulo, independentemente do tipo.

Exemplo - Triângulo isósceles

Considera o triângulo isósceles $[PQR]$ com $\overline{OC} = 3$ e $\overline{QR} = 6$ , onde $O$ , $G$ e $C$ são o ortocentro, o baricentro e o circuncentro, respetivamente. Queremos determinar a área do triângulo $[GCQ]$ .

Pela propriedade da reta de Euler, $\overline{OG} = 2 \times \overline{GC}$ .

Como $\overline{OC} = \overline{OG} + \overline{GC} = 3$ , temos $2\overline{GC} + \overline{GC} = 3$ , logo $\overline{GC} = 1$ .

O triângulo $[PQR]$ é isósceles, por isso a reta de Euler é perpendicular à base $[QR]$ e divide-a ao meio. Sendo $M$ o ponto médio de $[QR]$ , temos $\overline{MQ} = 3$ .

A_{[GCQ]} = \frac{\overline{GC} \times \overline{MQ}}{2} = \frac{1 \times 3}{2} = \frac{3}{2} \text{ u.a.}