Geometria Sintética no Plano·📄 Circunferência dos 9 Pontos
Circunferência dos 9 Pontos

📄 Circunferência dos 9 Pontos

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A circunferência dos nove pontos passa pelos pés das três alturas, pelos pontos médios dos três lados e pelos pontos médios dos segmentos que unem os vértices ao ortocentro. O seu centro é o ponto médio do segmento definido pelo circuncentro e pelo ortocentro.

Os Nove Pontos

Num triângulo, existem nove pontos que pertencem todos à mesma circunferência:

  • Os pés das três alturas (3 pontos)
  • Os pontos médios dos três lados (3 pontos)
  • Os pontos médios dos segmentos que unem cada vértice ao ortocentro (3 pontos)

A circunferência que passa por estes nove pontos chama-se circunferência dos nove pontos.

Propriedades

  • O centro da circunferência dos nove pontos é o ponto médio do segmento definido pelo circuncentro e pelo ortocentro (Figura A)
  • O raio da circunferência dos nove pontos é metade do raio da circunferência circunscrita (Figura B)
Figura A
Figura A
Figura B
Figura B

Exemplo - Raio da circunferência circunscrita

Considera um triângulo tal que a distância do centro da circunferência dos nove pontos ao ponto médio de um dos seus lados é igual a 4.

Essa distância é o raio da circunferência dos nove pontos, logo r9=4r_9 = 4.

Como o raio da circunferência dos nove pontos é metade do raio da circunferência circunscrita:

r9=R2⇔4=R2⇔R=8r_9 = \frac{R}{2} \Leftrightarrow 4 = \frac{R}{2} \Leftrightarrow R = 8

O raio da circunferência circunscrita é 88.