Conceito de função

Imagina dois conjuntos, A e B. Uma função $f$: A → B é uma regra que a cada elemento $x$ de A (o objeto) faz corresponder um e um só elemento $y$ de B (a imagem de $x$).

Para ser função, cada objeto tem de ter exatamente uma imagem — nem mais, nem menos.

Quando temos uma função $f$: A → B, identificamos três conjuntos:

• Domínio ($D_f$) - o conjunto de partida A, ou seja, todos os objetos

• Conjunto de chegada - o conjunto B

• Contradomínio ($D'_f$ ou $CD_f$) - o conjunto das imagens, isto é, os valores que a função realmente "atinge" em B

Para designar uma função $f$: A → B, basta indicar os conjuntos de partida e de chegada, e a regra de correspondência.

Exemplo

A correspondência $f$ é uma função, porque cada elemento de A tem exatamente uma imagem em B. Temos $D_f$ = {-1, 0, 1} e o conjunto de chegada é B = {1, 2, 3}.

Já as correspondências $g$ e $h$ não são funções: $g$ porque o elemento 1 não tem imagem, e $h$ porque o elemento 0 tem duas imagens.

Formas de definir uma função

Podemos representar uma função de várias formas:

• Tabela - listamos os objetos e as respetivas imagens, exemplo:

  Considera a função que faz corresponder a temperatura T de um chá ao tempo t (em minutos) após ter sido feito:

  Tempo t (min)	0	5	10	15	20	25	30
  Temperatura T (°C)	90	80	71	63	55	49	45

• Gráfico - representamos os pontos ($x$, $f(x)$) num referencial cartesiano

  Considera a função que faz corresponder a distância percorrida (em km) com o tempo (em minutos) gasto por um comboio que percorre uma determinada distância.

  

• Expressão analítica - escrevemos uma fórmula, como $f(x) = x^2$

Determinação de domínios

Quando uma função é definida por uma expressão analítica, o domínio é o conjunto de valores de $x$ para os quais a expressão tem significado. Temos de ter atenção a duas situações:

• Se $x$ aparece num denominador - esse denominador não pode ser zero

• Se $x$ aparece dentro de uma raiz de índice par - o radicando tem de ser maior ou igual a zero

Se tivermos as duas situações ao mesmo tempo, garantimos ambas as condições em simultâneo.

Exemplo

Seja $f$ a função definida por $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x - 2}}$.

Precisamos que $x - 2 \geq 0$ (radicando não negativo) e que $\sqrt{x - 2} \neq 0$ (denominador diferente de zero). Juntando as duas condições, ficamos com $x - 2 > 0$, ou seja, $x > 2$.

Igualdade de funções

Duas funções $f$ e $g$ são iguais (escrevemos $f = g$) se e só se:

• Têm o mesmo domínio

• Têm o mesmo conjunto de chegada

• Cada elemento do domínio tem a mesma imagem por $f$ e por $g$, isto é:

Exemplo

Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 9}, e consideremos:

• $f$: A → B definida pela tabela:

• $g$: A → B definida por $g(x) = x^2$

• $h$: A → $\mathbb{N}$ definida por $h(x) = x^2$

As funções $f$ e $g$ são iguais — têm o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegada e $f(x) = g(x)$ para todo o $x$. Já $h$ não é igual a $f$ nem a $g$, porque tem um conjunto de chegada diferente.