Gráfico de uma função

O gráfico cartesiano de uma função $f$ é o conjunto de todos os pontos da forma ($x$, $f(x)$), com $x \in D_f$.

Na prática, para representar o gráfico num referencial, calculamos $f(x)$ para vários valores de $x$ e marcamos os pontos correspondentes.

Exemplo

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2$. O gráfico de $f$ é o conjunto de todos os pontos ($x$, $x^2$) - uma parábola que passa pela origem.

Zeros de uma função

Os zeros de uma função são os valores de $x$ do domínio cuja imagem é zero:

$a$ é zero de $f$ se $f(a) = 0$

Graficamente, os zeros correspondem aos pontos onde o gráfico interseta o eixo $Ox$.

Exemplo

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 1$.

$\frac{1}{2}$ é o zero da função $f$.

Sinal de uma função

Estudar o sinal de uma função é determinar onde é que ela é positiva e onde é negativa:

• Positiva em $a \in D_f$ se $f(a) > 0$

• Negativa em $a \in D_f$ se $f(a) < 0$

Para organizar esta informação, usamos um quadro de sinal.

Exemplo

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 1$.

Sabemos que o zero de $f$ é $\frac{1}{2}$. O quadro de sinal:

$f$ é negativa em $\left]-\infty, \frac{1}{2}\right[$ e positiva em $\left]\frac{1}{2}, +\infty\right[$.

Monotonia

A monotonia descreve se uma função está a "subir" ou a "descer" num determinado intervalo. Dada uma função $f$ e $A \subset D_f$:

• $f$ é estritamente crescente em A se, para quaisquer $x_1, x_2 \in A$ com $x_1 < x_2$, temos $f(x_1) < f(x_2)$

• $f$ é crescente em sentido lato em A se, com $x_1 < x_2$, temos $f(x_1) \leq f(x_2)$

• $f$ é estritamente decrescente em A se, com $x_1 < x_2$, temos $f(x_1) > f(x_2)$

• $f$ é decrescente em sentido lato em A se, com $x_1 < x_2$, temos $f(x_1) \geq f(x_2)$

• $f$ é constante em A se $f(x_1) = f(x_2)$ para quaisquer $x_1, x_2 \in A$

Exemplo

Observando o gráfico de $f$:

• $f$ é estritamente crescente em [1, 3] e em [5, 7]
• $f$ é estritamente decrescente em [7, 13]
• $f$ é constante em [3, 5]
• $f$ é crescente em sentido lato em [1, 7]
• $f$ é decrescente em sentido lato em [3, 5] e em [7, 13]

Extremos absolutos e relativos

Os extremos de uma função são os seus valores máximos e mínimos. Podem ser absolutos (considerando todo o domínio) ou relativos (numa vizinhança de um ponto).

Dada uma função $f$:

• $f(a)$ é máximo absoluto se $f(a) \geq f(x)$ para todo o $x \in D_f$; o objeto $a$ é maximizante

• $f(a)$ é mínimo absoluto se $f(a) \leq f(x)$ para todo o $x \in D_f$; o objeto $a$ é minimizante

Para os extremos relativos:

• $f$ tem um máximo relativo em $a$ se existe uma vizinhança de $a$ onde $f(a) \geq f(x)$ para todos os $x$ dessa vizinhança pertencentes ao domínio

• $f$ tem um mínimo relativo em $a$ se existe uma vizinhança de $a$ onde $f(a) \leq f(x)$ para todos os $x$ dessa vizinhança pertencentes ao domínio

Exemplo

Observando o gráfico de $f$:

• 5 é máximo absoluto, para $x = 7$
• 1 é mínimo absoluto, para $x = 13$
• 1 é mínimo relativo, para $x = 1$
• 3 é máximo relativo, para $x \in$ [3, 5]
• 3 é mínimo relativo, para $x \in$ [3, 5]