O que é uma função definida por ramos

Uma função $f$ diz-se definida por ramos quando é definida por expressões analíticas diferentes em partes diferentes do seu domínio.

Ou seja, em vez de termos uma só fórmula que funciona para todos os valores de $x$, temos várias fórmulas, cada uma aplicada a um intervalo específico.

Exemplo

Seja $h$ a função definida por:

$$h(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{se } x > 1 \\ 2 & \text{se } -1 < x < 1 \\ -x + 2 & \text{se } x < -1 \end{cases}$$

Esta função tem três ramos:

• Para $x > 1$, usamos a expressão $x^2 + x$ (uma parábola)

• Para $-1 < x < 1$, a função é constante e igual a $2$

• Para $x < -1$, usamos a expressão $-x + 2$ (uma reta)

Como calcular imagens

Para calcular a imagem de um valor, primeiro verificamos a que ramo pertence e depois aplicamos a expressão correspondente.

Por exemplo:

• $h(2) = 2^2 + 2 = 6$ (porque $2 > 1$, usamos o 1.º ramo)

• $h(0) = 2$ (porque $-1 < 0 < 1$, usamos o 2.º ramo)

• $h(-3) = -(-3) + 2 = 5$ (porque $-3 < -1$, usamos o 3.º ramo)