Expressão algébrica

A função quadrática pode ser escrita de duas formas equivalentes:

com $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$, onde $(h, k)$ são as coordenadas do vértice da parábola.

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, com vértice em $V(h, k)$ e eixo de simetria na reta $x = h$.

• Se $a > 0$, a concavidade é voltada para cima (a parábola tem um mínimo absoluto)

• Se $a < 0$, a concavidade é voltada para baixo (a parábola tem um máximo absoluto)

Propriedades

Coordenadas do vértice

Podemos determinar as coordenadas do vértice $V(h, k)$ de três formas diferentes.

1.º Processo - Transformar a expressão

Reescrevemos $ax^2 + bx + c$ na forma $a(x - h)^2 + k$ e lemos diretamente as coordenadas do vértice.

2.º Processo - Usar a fórmula

Calculamos a abcissa do vértice com $h = -\frac{b}{2a}$ e depois substituímos em $f$ para obter a ordenada:

3.º Processo - Usar dois pontos com a mesma imagem

Escolhemos dois valores de $x$ que tenham a mesma imagem. A abcissa do vértice é a média desses dois valores, e a ordenada obtém-se por substituição.

Exemplos práticos:

Seja $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Determinemos as coordenadas do vértice:

1.º Processo: $f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$, logo $V(1, 2)$.

2.º Processo: $h = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1$ e $f(1) = 1 - 2 + 3 = 2$. Logo, $V(1, 2)$.

3.º Processo: $f(x) = 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0$, ou seja, $x = 0$ ou $x = 2$. A abcissa do vértice é $\frac{0 + 2}{2} = 1$ e $f(1) = 2$. Logo, $V(1, 2)$.

Zeros - Fórmula resolvente

Para encontrar os zeros de $f(x) = ax^2 + bx + c$, resolvemos a equação $ax^2 + bx + c = 0$ usando a fórmula resolvente:

A expressão $b^2 - 4ac$ chama-se binómio discriminante e representamo-la pela letra grega $\Delta$. O número de soluções depende do sinal de $\Delta$:

• $\Delta > 0$: a equação tem duas soluções distintas

• $\Delta = 0$: a equação tem uma única solução, $x = -\frac{b}{2a}$

• $\Delta < 0$: a equação não tem soluções reais

Exemplo - Zeros

Seja $f(x) = x^2 - 3x - 10$. Determinemos os zeros de $f$.

Resolvemos $x^2 - 3x - 10 = 0$, com $a = 1$, $b = -3$ e $c = -10$.

Como $\Delta > 0$, temos duas soluções:

Logo, $x = \frac{3 + 7}{2} = 5$ ou $x = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Sinal da função quadrática

O sinal de $f(x) = ax^2 + bx + c$ depende do número de zeros e do sinal de $a$:

Dois zeros ($x_1$ e $x_2$, com $x_1 < x_2$):

• $a > 0$: $f(x) > 0$ fora do intervalo $]x_1, x_2[$ e $f(x) < 0$ dentro

• $a < 0$: $f(x) < 0$ fora do intervalo $]x_1, x_2[$ e $f(x) > 0$ dentro

Um zero ($x_1$):

• $a > 0$: $f(x) \geq 0$ para todo o $x \in \mathbb{R}$

• $a < 0$: $f(x) \leq 0$ para todo o $x \in \mathbb{R}$

Sem zeros:

• $a > 0$: $f(x) > 0$ para todo o $x \in \mathbb{R}$

• $a < 0$: $f(x) < 0$ para todo o $x \in \mathbb{R}$

Inequações do 2.º grau

Para resolver uma inequação do tipo $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $<$, $>$, $\geq$), seguimos estes passos:

1. Transformar a inequação na forma:
   1. $ax^2 + bx + c > 0$
   2. $ax^2 + bx + c < 0$
   3. $ax^2 + bx + c \ge 0$
   4. $ax^2 + bx + c \le 0$

1. Determinar os zeros de $f(x) = ax^2 + bx + c$

1. Fazer um esboço da parábola

1. Identificar os valores de $x$ que correspondem à condição pedida

1. Escrever o conjunto-solução

Exemplo - Inequação do 2.º grau

Resolver $-x^2 - x + 2 \geq 0$.

Determinamos os zeros de $f(x) = -x^2 - x + 2$:

$-x^2-x+2 \ge 0$

$\Leftrightarrow -2 \le x \le 1$

$C.S. = [-2, 1]$