Referencial Cartesiano

📐 Referencial Cartesiano no Plano

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O referencial cartesiano permite-nos localizar pontos no plano usando coordenadas. Com ele, conseguimos calcular reflexões de pontos, pontos médios de segmentos, distâncias entre pontos e mediatizes - tudo com fórmulas simples a partir das coordenadas.

Transformados de pontos

Seja $P(a, b)$ um ponto do plano. O transformado de $P(a, b)$ por uma:

Reflexão de eixo $Ox$ : tem coordenadas $(a, -b)$

Reflexão de eixo $Oy$ : tem coordenadas $(-a, b)$

Meia-volta de centro em $O$ : tem coordenadas $(-a, -b)$

Basicamente, na reflexão em $Ox$ trocamos o sinal da ordenada, na reflexão em $Oy$ trocamos o sinal da abcissa, e na meia-volta trocamos o sinal das duas coordenadas.

Exemplo - Transformados de P(-1, 2)

Seja $P(-1, 2)$ um ponto do plano.

$A$ é o transformado de $P$ por uma reflexão de eixo $Ox$ : $A(-1, -2)$
$B$ é o transformado de $P$ por uma reflexão de eixo $Oy$ : $B(1, 2)$
$C$ é o transformado de $P$ por uma meia-volta de centro em $O$ : $C(1, -2)$

Ponto médio de [AB]

Sejam $A(a_1, a_2)$ e $B(b_1, b_2)$ dois pontos do plano. O ponto médio do segmento de reta $[AB]$ tem coordenadas:

M\left(\frac{a_1 + b_1}{2},\; \frac{a_2 + b_2}{2}\right)

Ou seja, fazemos a média das abcissas e a média das ordenadas.

Exemplo - Ponto médio de [AB]

Sejam $A(-1, 2)$ e $B(3, -4)$ .

O ponto médio do segmento de reta $[AB]$ tem coordenadas:

M\left(\frac{-1 + 3}{2},\; \frac{2 + (-4)}{2}\right) = M(1,\; -1)

Distância entre dois pontos

Sejam $A(a_1, a_2)$ e $B(b_1, b_2)$ dois pontos do plano. A distância entre $A$ e $B$ é dada por:

d(A, B) = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}

Exemplo - Distância entre A e B

Sejam $A(-1, 2)$ e $B(3, -4)$ .

d(A, B) = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}

Mediatriz do segmento de reta [AB]

Sejam $A(a_1, a_2)$ e $B(b_1, b_2)$ dois pontos do plano. A mediatriz do segmento de reta $[AB]$ é o conjunto dos pontos que estão à mesma distância de $A$ e de $B$ , e pode ser definida por:

(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 = (x - b_1)^2 + (y - b_2)^2

Exemplo - Mediatriz de [AB]

Sejam $A(-1, 2)$ e $B(3, -4)$ .

A mediatriz do segmento de reta $[AB]$ pode ser definida por:

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y + 4)^2

\Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 16

\Leftrightarrow 8x - 12y - 20 = 0

\Leftrightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}