Espaço

📐 Referencial Cartesiano no Espaço

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No espaço, usamos um referencial cartesiano com três eixos perpendiculares - Ox, Oy e Oz - para localizar pontos com três coordenadas. Com este sistema, conseguimos calcular distâncias, pontos médios, identificar simetrias e descrever planos e retas através de condições simples.

Coordenadas de pontos simétricos

Quando fazemos uma reflexão de um ponto $P(a, b, c)$ no espaço, as coordenadas mudam conforme o elemento de simetria que escolhemos.

Reflexão em relação aos eixos

Num eixo, apenas a coordenada correspondente se mantém e as outras duas trocam de sinal:

Eixo Ox: $(a, -b, -c)$

Eixo Oy: $(-a, b, -c)$

Eixo Oz: $(-a, -b, c)$

Reflexão em relação aos planos coordenados

Num plano, as duas coordenadas que o definem mantêm-se e a terceira troca de sinal:

Plano xOy: $(a, b, -c)$

Plano xOz: $(a, -b, c)$

Plano yOz: $(-a, b, c)$

Reflexão em relação à origem

O simétrico de $P$ em relação à origem tem coordenadas $(-a, -b, -c)$ - todas as coordenadas trocam de sinal.

Exemplo - Pontos simétricos de P(2, 3, -4)

O transformado de $P(2, 3, -4)$ por uma reflexão:

ao eixo Ox: $(2, -3, 4)$

ao eixo Oy: $(-2, 3, 4)$

ao eixo Oz: $(-2, -3, -4)$

ao plano xOy: $(2, 3, 4)$

ao plano xOz: $(2, -3, -4)$

ao plano yOz: $(-2, 3, -4)$

à origem: $(-2, -3, 4)$

Ponto médio de [AB]

Dados dois pontos $A(a_1, a_2, a_3)$ e $B(b_1, b_2, b_3)$ no espaço, o ponto médio do segmento de reta $[AB]$ tem coordenadas:

M\left(\frac{a_1 + b_1}{2},\ \frac{a_2 + b_2}{2},\ \frac{a_3 + b_3}{2}\right)

Basicamente, fazemos a média de cada coordenada.

Exemplo - Ponto médio

Sejam $A(1, 0, -2)$ e $B(2, 3, 4)$ . O ponto médio de $[AB]$ é:

M\left(\frac{1+2}{2},\ \frac{0+3}{2},\ \frac{-2+4}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2},\ \frac{3}{2},\ 1\right)

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos $A(a_1, a_2, a_3)$ e $B(b_1, b_2, b_3)$ no espaço, a distância entre eles é:

d(A, B) = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}

É a extensão da fórmula que já conhecemos no plano, mas agora adaptada a três coordenadas .

Exemplo - Distância entre dois pontos

Sejam $A(1, 0, -2)$ e $B(2, 3, 4)$ .

d(A, B) = \sqrt{(2-1)^2 + (3-0)^2 + (4+2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46}

Planos paralelos aos planos coordenados

No espaço, podemos definir planos usando condições simples. Um plano paralelo a um plano coordenado é definido por uma equação com uma única variável:

Condição	Paralelo a	Passa por	Perpendicular a	Caso particular
$x = a$ , $a \in \mathbb{R}$	plano yOz	$A(a, 0, 0)$	eixo Ox	$x = 0$ define o plano yOz
$y = b$ , $b \in \mathbb{R}$	plano xOz	$B(0, b, 0)$	eixo Oy	$y = 0$ define o plano xOz
$z = c$ , $c \in \mathbb{R}$	plano xOy	$C(0, 0, c)$	eixo Oz	$z = 0$ define o plano xOy

x=a,a∈Rx = a, a \in \mathbb{R}x=a,a∈R — $x = a, a \in \mathbb{R}$

y=b,b∈Ry = b, b \in \mathbb{R}y=b,b∈R — $y = b, b \in \mathbb{R}$

z=c,c∈Rz = c, c \in \mathbb{R}z=c,c∈R — $z = c, c \in \mathbb{R}$

Retas paralelas aos eixos coordenados

Uma reta paralela a um eixo coordenado é definida pela interseção de dois planos - precisamos de fixar duas coordenadas:

Condição	Paralela a	Perpendicular a	Interseta em	Caso particular
$x = a \land y = b$	eixo Oz	plano xOy	$(a, b, 0)$	$x = 0 \land y = 0$ define Oz
$y = b \land z = c$	eixo Ox	plano yOz	$(0, b, c)$	$y = 0 \land z = 0$ define Ox
$x = a \land z = c$	eixo Oy	plano xOz	$(a, 0, c)$	$x = 0 \land z = 0$ define Oy

x=a∧y=b,a,b∈Rx = a \land y = b, a,b \in \mathbb{R}x=a∧y=b,a,b∈R — $x = a \land y = b, a,b \in \mathbb{R}$

y=b∧z=c,b,c∈Ry = b \land z = c, b,c \in \mathbb{R}y=b∧z=c,b,c∈R — $y = b \land z = c, b,c \in \mathbb{R}$

x=a∧z=c,a,c∈Rx = a \land z = c, a,c \in \mathbb{R}x=a∧z=c,a,c∈R — $x = a \land z = c, a,c \in \mathbb{R}$