Geometria Analítica·📐 Plano Mediador de um Segmento de Reta
Espaço

📐 Plano Mediador de um Segmento de Reta

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O plano mediador de um segmento de reta é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão à mesma distância das duas extremidades do segmento. É sempre um plano perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

Plano mediador

O plano mediador de um segmento de reta [AB][AB] é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão à mesma distância de AA e de BB. Ou seja, um ponto P(x,y,z)P(x, y, z) pertence ao plano mediador se:

d(P,A)=d(P,B)d(P, A) = d(P, B)

Dados A(a1,a2,a3)A(a_1, a_2, a_3) e B(b1,b2,b3)B(b_1, b_2, b_3), a condição fica:

(x−a1)2+(y−a2)2+(z−a3)2=(x−b1)2+(y−b2)2+(z−b3)2(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 + (z - a_3)^2 = (x - b_1)^2 + (y - b_2)^2 + (z - b_3)^2

Exemplo - Plano mediador

Sejam A(1,0,−2)A(1, 0, -2) e B(2,3,4)B(2, 3, 4). O plano mediador de [AB][AB] é definido por:

(x−1)2+y2+(z+2)2=(x−2)2+(y−3)2+(z−4)2(x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2

Desenvolvendo:

x2−2x+1+y2+z2+4z+4=x2−4x+4+y2−6y+9+z2−8z+16x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 + 4z + 4 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 8z + 16

Simplificando:

2x+6y+12z−24=02x + 6y + 12z - 24 = 0