Medidas Estatísticas

📊 Medidas de Localização

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As medidas de localização resumem um conjunto de dados num valor representativo. A moda é o valor mais frequente, a média é o valor central calculado, a mediana divide os dados ordenados ao meio, e os quartis dividem os dados em quatro partes iguais.

Medidas de Localização

São exemplos de medidas de localização a média, a mediana, a moda e os percentis.

Moda

A moda é o valor que aparece mais vezes num conjunto de dados. Representa-se por $M_o$ .

Média

A média é o quociente entre a soma de todos os valores e o número total de dados. Representa-se por $\bar{x}$ .

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Mediana

A mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas partes iguais - metade dos dados ficam abaixo e metade acima. Representa-se por $M_e$ .

Percentis

O percentil de ordem k é o valor abaixo do qual se encontram, pelo menos, $k\%$ dos dados e acima do qual se encontram, pelo menos, $(100-k)\%$ . Representa-se por $P_k$ .

Quartis

Os percentis $P_{25}$ , $P_{50}$ e $P_{75}$ chamam-se primeiro, segundo e terceiro quartis, respetivamente.

Exemplo 1 - Teste de escolha múltipla

Aplicou-se um teste de 8 itens de escolha múltipla a 25 alunos e contou-se o número de respostas corretas.

N.º de respostas corretas	Freq. absoluta	Freq. absoluta acumulada	Freq. relativa	Freq. relativa acumulada
0	1	1	$\frac{1}{25} = 0{,}04$	$\frac{1}{25} = 0{,}04$
1	2	3	$\frac{2}{25} = 0{,}08$	$\frac{3}{25} = 0{,}12$
2	1	4	$\frac{1}{25} = 0{,}04$	$\frac{4}{25} = 0{,}16$
3	3	7	$\frac{3}{25} = 0{,}12$	$\frac{7}{25} = 0{,}28$
4	2	9	$\frac{2}{25} = 0{,}08$	$\frac{9}{25} = 0{,}36$
5	6	15	$\frac{6}{25} = 0{,}24$	$\frac{15}{25} = 0{,}6$
6	5	20	$\frac{5}{25} = 0{,}2$	$\frac{20}{25} = 0{,}8$
7	3	23	$\frac{3}{25} = 0{,}12$	$\frac{23}{25} = 0{,}92$
8	2	25	$\frac{2}{25} = 0{,}08$	$\frac{25}{25} = 1$
Total	25	—	1	—

Cálculo das medidas de localização

$M_o = 5$ , pois é o valor que aparece mais vezes (6 vezes)

$\bar{x} = \frac{0 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 6 + 6 \times 5 + 7 \times 3 + 8 \times 2}{25} = \frac{118}{25} = 4{,}72$

Como $n = 25$ é ímpar, a mediana ocupa a posição $\frac{25+1}{2} = 13$ . Logo, $M_e = 5$

$Q_1 = 3$ . O conjunto de dados abaixo da mediana tem 12 elementos. O 1.º quartil é a média das posições 6 e 7, ou seja, $Q_1 = \frac{3 + 3}{2} = 3$

$Q_3 = 6$ . O conjunto de dados acima da mediana tem 12 elementos. O 3.º quartil é a média das posições 6 e 7 desses 12, ou seja, $Q_3 = \frac{6 + 6}{2} = 6$

Propriedades da Média

Sejam $x_1, x_2, \ldots, x_n$ os valores de uma amostra de média $\bar{x}$ .:

Se multiplicarmos todos os valores por uma constante $a$ , a nova média é $a\bar{x}$

Se somarmos uma constante $b$ a todos os valores, a nova média é $\bar{x} + b$

Exemplo

Sejam 1, 1, 2, 3, 5 os valores de uma amostra com média $\bar{x} = 2{,}4$ .

A média de (2, 2, 4, 6, 10) é $2 \times 2{,}4 = 4{,}8$ .

A média de (2, 2, 3, 4, 6) é $2{,}4 + 1 = 3{,}4$ .

Diagrama de Extremos-e-Quartis

O diagrama de extremos-e-quartis é uma representação gráfica que mostra como os dados se distribuem, usando cinco valores: mínimo, 1.º quartil, mediana, 3.º quartil e máximo.

25% dos dados ficam entre o mínimo e $Q_1$

50% dos dados ficam entre $Q_1$ e $Q_3$

25% dos dados ficam entre $Q_3$ e o máximo