Dados Bivariados

📊 Dados Bivariados

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Quando queremos estudar a relação entre duas variáveis, usamos amostras bivariadas e representamo-las numa nuvem de pontos. O coeficiente de correlação linear mede a intensidade dessa relação, e a reta de regressão permite-nos fazer previsões.

Amostras Bivariadas e Nuvem de Pontos

Quando queremos estudar a relação entre duas variáveis $x$ e $y$ , usamos uma amostra bivariada: um conjunto de pares $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ .

Esta amostra pode ser representada graficamente por uma nuvem de pontos (ou diagrama de dispersão), marcando cada par $(x_i, y_i)$ como um ponto no plano cartesiano.

Variável Explanatória e Variável Resposta

Em muitas situações reais, faz sentido distinguir as duas variáveis:

Variável explanatória - a variável independente, a que influencia a outra

Variável resposta - a variável dependente, a que é influenciada

Esta escolha baseia-se no conhecimento que temos da situação, não em regras estatísticas.

Exemplo - Salário médio mensal

Na tabela abaixo, $x$ representa o ano e $y$ o salário médio mensal (em euros) de um trabalhador por conta de outrem, entre 1985 e 2015.

Ano ( $x$ )	1985	1989	1992	1995	1999	2003	2005	2007	2011	2015
Salário ( $y$ )	170,5	290,9	469,7	584	700,2	849,6	907,2	963,3	1083,8	1096,7

Aqui, o "ano" ( $x$ ) é a variável explanatória e o "salário" ( $y$ ) é a variável resposta.

Coeficiente de Correlação Linear

O coeficiente de correlação linear mede a intensidade da relação linear entre duas variáveis. É dado por:

r = \frac{(x_1 - \bar{x})(y_1 - \bar{y}) + (x_2 - \bar{x})(y_2 - \bar{y}) + \ldots + (x_n - \bar{x})(y_n - \bar{y})}{\sqrt{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{(y_1 - \bar{y})^2 + \ldots + (y_n - \bar{y})^2}}

O valor de $r$ pertence sempre ao intervalo $[-1, 1]$ .

Como interpretar o valor de $r$

$r$ próximo de 1 - existe uma associação linear positiva (quando $x$ aumenta, $y$ também tende a aumentar)

$r$ próximo de -1 - existe uma associação linear negativa (quando $x$ aumenta, $y$ tende a diminuir)

$r$ próximo de 0 - não existe associação linear entre as variáveis

Reta de Regressão

A reta de regressão (ou reta dos mínimos quadrados) é a reta que melhor se ajusta à nuvem de pontos. Quando o diagrama de dispersão mostra uma forte associação linear, esta reta permite-nos fazer previsões.

Exemplo - Estimativa do salário em 2017

Usando os dados do salário médio mensal, a calculadora gráfica dá-nos a reta de regressão:

y = 32{,}782x - 64\,856{,}285 \text{, com } r = 0{,}988

Como $r = 0{,}988$ está muito próximo de 1, existe uma forte associação linear positiva.

Para estimar o salário em 2017, substituímos $x$ por 2017:

y = 32{,}782 \times 2017 - 64\,856{,}285 \approx 1265{,}61

Estimamos que o salário médio mensal em 2017 seja de 1265,61 euros.