Geometria Sintética no Plano·📄 Circuncentro
Pontos Notáveis do Triângulo

📄 Circuncentro

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A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular que passa no seu ponto médio. O circuncentro de um triângulo é o ponto onde se cruzam as três mediatrizes dos lados, e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Mediatriz

A mediatriz de um segmento de reta é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância dos dois extremos do segmento. É a reta perpendicular ao segmento que passa no seu ponto médio.

Circuncentro

O circuncentro de um triângulo é o ponto de interseção das mediatrizes dos três lados.

Este ponto é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo - a circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. O raio dessa circunferência é a distância do circuncentro a qualquer um dos vértices.

Exemplo - Circuncentro num referencial

Considera, num referencial o.n., os pontos P(−1,2)P(-1, 2), Q(3,1)Q(3, 1) e R(5,5)R(5, 5). Queremos determinar o circuncentro CC do triângulo [PQR][PQR].

O circuncentro está à mesma distância dos três vértices, logo CP‾=CQ‾=CR‾\overline{CP} = \overline{CQ} = \overline{CR}.

De CP‾2=CQ‾2\overline{CP}^2 = \overline{CQ}^2, obtemos:

(x+1)2+(y−2)2=(x−3)2+(y−1)2⇔8x−2y=5(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-1)^2 \Leftrightarrow 8x - 2y = 5

De CQ‾2=CR‾2\overline{CQ}^2 = \overline{CR}^2, obtemos:

(x−3)2+(y−1)2=(x−5)2+(y−5)2⇔x+2y=10(x-3)^2 + (y-1)^2 = (x-5)^2 + (y-5)^2 \Leftrightarrow x + 2y = 10

Resolvendo o sistema, obtemos C(53,256)C\left(\frac{5}{3}, \frac{25}{6}\right).