Pontos Notáveis do Triângulo

📄 Circuncentro

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A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular que passa no seu ponto médio. O circuncentro de um triângulo é o ponto onde se cruzam as três mediatrizes dos lados, e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Mediatriz

A mediatriz de um segmento de reta é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância dos dois extremos do segmento. É a reta perpendicular ao segmento que passa no seu ponto médio.

Circuncentro

O circuncentro de um triângulo é o ponto de interseção das mediatrizes dos três lados.

Este ponto é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo - a circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. O raio dessa circunferência é a distância do circuncentro a qualquer um dos vértices.

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A posição do circuncentro depende do tipo de triângulo: fica no interior se for acutângulo, sobre o ponto médio da hipotenusa se for retângulo, e no exterior se for obtusângulo.

Exemplo - Circuncentro num referencial

Considera, num referencial o.n., os pontos $P(-1, 2)$ , $Q(3, 1)$ e $R(5, 5)$ . Queremos determinar o circuncentro $C$ do triângulo $[PQR]$ .

O circuncentro está à mesma distância dos três vértices, logo $\overline{CP} = \overline{CQ} = \overline{CR}$ .

De $\overline{CP}^2 = \overline{CQ}^2$ , obtemos:

(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-1)^2 \Leftrightarrow 8x - 2y = 5

De $\overline{CQ}^2 = \overline{CR}^2$ , obtemos:

(x-3)^2 + (y-1)^2 = (x-5)^2 + (y-5)^2 \Leftrightarrow x + 2y = 10

Resolvendo o sistema, obtemos $C\left(\frac{5}{3}, \frac{25}{6}\right)$ .

Como $[PQR]$ tem um ângulo obtuso no vértice $Q$ (é obtusângulo), o circuncentro $C$ fica fora do triângulo — tal como a regra acima indica.