Modelos Matemáticos em Finanças

💵 Matemática na Poupança e no Crédito

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Quando depositamos dinheiro num banco, o capital cresce ao longo do tempo através dos juros. No regime de juro simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial. No regime de juro composto, o juro é calculado sobre o capital acumulado, gerando juros sobre juros.

Juros Simples e Juros Compostos

No regime de juro simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial. Já no regime de juro composto, o juro é calculado sobre o capital acumulado, ou seja, os juros de cada período geram novos juros nos períodos seguintes.

Juro Simples

O juro simples é igual a:

J = C_i \times r \times n

O capital acumulado é igual a:

C_i + C_i \times r \times n = C_i \times (1 + r \times n)

Juro Composto

O juro composto é igual a:

J = C_i(1 + r)^n - C_i

O capital acumulado é igual a:

C_i(1 + r)^n

Em ambos os regimes:

$C_i$ - capital inicial

$r$ - taxa de juro anual, na forma decimal

$n$ - número de anos ao fim dos quais se pretende determinar o capital acumulado

Exemplo 1 - Comparação entre regimes

O Tiago recebeu 1500 euros como prémio de um concurso e pretende fazer um depósito a prazo. Decidiu analisar as condições que dois bancos lhe oferecem:

Banco TOP	Banco EXE
Taxa de juro simples anual de 1,8%	Taxa de juro composto anual de 1,6%

Supondo que o Tiago não levanta o dinheiro nem os juros que se vão acumulando, determinemos o capital disponível ao fim de 10, 16 e 20 anos.

Na tabela seguinte, as colunas a rosa referem-se ao juro simples e as colunas a azul ao juro composto.

Ano	Juro	Juro acumulado	Capital acumulado	Juro	Juro acumulado	Capital acumulado	Diferença
10	27	270	1770	27,69	258,04	1758,04	−11,96
16	27	432	1932	30,45	433,71	1933,71	1,71
20	27	540	2040	32,45	560,47	2060,47	20,47

Observa que, passados 16 anos, é mais vantajoso o regime de juro composto do que o regime de juro simples.

Juros Compostos por Capitalizações

Nem sempre os juros são capitalizados anualmente. Quando a capitalização ocorre $k$ vezes por ano (por exemplo, mensalmente ou trimestralmente), usa-se a fórmula geral:

C_i \left(1 + \frac{r}{k}\right)^{k \times n}

$C_i$ - capital inicial

$r$ - taxa de juro anual, na forma decimal

$k$ - número de capitalizações por ano

$n$ - número de anos

Os casos mais comuns são:

Capitalização anual - $k = 1$

Capitalização semestral - $k = 2$

Capitalização trimestral - $k = 4$

Capitalização mensal - $k = 12$

Exemplo 2 - Capitalização mensal

Considera um depósito de 10 500 euros, ao qual será aplicada uma taxa de juro composto anual de 3%. Admite que o juro vai ser capitalizado mensalmente ( $k = 12$ ).

O capital acumulado, ao fim de 18 meses (1,5 anos), é igual a:

10\,500 \times \left(1 + \frac{0{,}03}{12}\right)^{12 \times 1{,}5} = 10\,982{,}68 \text{ €}

O juro obtido foi de $10\,982{,}68 - 10\,500 = 482{,}68$ €.